Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
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Tempo
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Data
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Valor Principal
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Juros
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Montante
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0
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01/01/94
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100,00
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0
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100,00
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1
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01/02/94
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100,00
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50,00
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150,00
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2
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01/03/94
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150,00
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75,00
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225,00
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3
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01/04/94
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225,00
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112,50
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337,50
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4
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01/05/94
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337,50
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168,75
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506,20
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5
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01/06/94
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506,25
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253,13
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759,38
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Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:
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S1=100(1,5)1
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S2=100(1,5)2
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S3=100(1,5)3
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S4=100(1,5)4
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S5=100(1,5)5
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Em geral:
onde
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Sn
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Soma ou montante
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P
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Valor Principal aplicado inicialmente
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i
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taxa unitária
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n
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número de períodos da aplicação
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Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.
A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?
Objetivo: S=2P
Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:
Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo
Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:
n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano
